Gracias  a Roger Penrose y su teorema de la singularidad, que permitió entender los agujeros negros, se creó una explosión de nuevas ideas y perspectivas, como la medición de ondas gravitacionales, el uso masivo de computadoras, las simulaciones de agujeros negros y supernovas,  nuevos telescopios y nos dimos cuenta que para entender el espacio, tenemos que entender la relatividad.

El matemático Roger Penrose fue uno de los premios Nobel de Física, entregado en octubre del presente año.

Este Premio Nobel fue otorgado a tres científicos por dos trabajos. El primero del astrofísico Reinhard Genzel y la astrónoma  Andrea Ghez, quienes midieron y descubrieron de forma experimental que dentro de la Vía Láctea existe un objeto compacto supermasivo que hace el efecto de arrastre desde el centro de nuestra galaxia.

La otra mitad del premio le fue otorgada al profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford Sir. Roger Penrose, que probó matemáticamente que los agujeros negros existen, descubriendo que su formación es una predicción directa de los preceptos de la teoría general de relatividad de Einstein. Penrose llegó a esta conclusión a través de la demostración de su teorema de la singularidad, propuesto en 1965.

Lo anterior fue el tema de la charla del profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad del Valle León Escobar, doctor (PhD) en matemáticas de la Universidad de Otawa, Nueva Zelanda, quien explicó la importancia del trabajo matemático desarrollado por Roger Penrose en la conferencia  “Las matemáticas de los agujeros negros ganan el Premio Nobel”.

La historia detrás del descubrimiento de Penrose 

En 1905 Albert Einstein presentó la teoría de la relatividad especial (E=MC2). Antes de ese momento se creía que el espacio y el tiempo eran absolutos, una premisa que se basaba en las teorías de Newton. Einstein propuso que el espacio y el tiempo son relativos, dependiendo del observador;  la velocidad de la luz es constante y  ninguna de estas se consideran fuerzas; que todo es energía, incluyendo la materia.

Esta teoría tuvo aplicaciones en mecánica y física cuántica, el desfase de tiempos y sistemas de GPS, entre otros. También tuvo impacto en la explicación de los fenómenos de desintegración radioactiva, sobre todo los procesos atómicos de fusión y fisión, que permiten liberar grandes cantidades de energía.

10 años después, en 1915, el mismo Einstein formuló una nueva teoría que involucró a la anterior como un caso particular y que explica que el espacio y el tiempo son dimensiones de algo llamado  ‘espacio-tiempo’, a esto se le conoce como la teoría general de la relatividad.  Asimismo, el científico supuso que la fuerza de gravedad es un efecto geométrico, lo que se conoce como principio de equivalencia. 

Esta teoría de Einstein, que va en contra del sentido común, implica ir más allá en un nivel de abstracción y fue usada por Penrose para predecir la existencia de los agujeros negros.
La relatividad general se basa en 3 ideas fundamentales:

La primera es que el ‘espacio-tiempo’ es una ‘variedad’, es decir que se puede describir matemáticamente como un objeto geométrico, de 4 dimensiones. Variedad es un concepto matemático del siglo XIX formulado por Bernhard Riemann (1826-1866) con la geometría diferencial.  Imagine un objeto biométrico, por ejemplo una dona, y que en un pedazo muy pequeño de la misma es posible ver un espacio plano, lo que significa que se puede hacer un mapeo de la dona a números reales.

Usando ese concepto de variedad, Einstein supuso que el espacio y el tiempo forman un objeto geométrico llamado ‘espacio-tiempo’, de 4 dimensiones -tres espaciales y una temporal que hace que no sea igual para todos los observadores. Cada objeto en el ‘espacio-tiempo’ va a tener unas coordenadas espacio- temporales distintas. 

La segunda idea fundamental de la relatividad general es que la materia, que es energía, distorsiona en curva el  ‘espacio- tiempo’.  “Es como tener una sábana extendida y poner pesos sobre ésta, entre mayor masa, mayor es la deformación o la distorsión del espacio-tiempo. Esa curvatura escapa a nuestra percepción porque está en 4 dimensiones y nosotros vemos en 3”, ejemplifica el profesor León Escobar a la vez que define la fuerza de gravedad como una curvatura del ‘espacio-tiempo’. 

En la tercera idea, Einstein propuso que  la tierra curva el ‘espacio-tiempo’ a su alrededor y la luna simplemente sigue el camino más fácil por el que se pueda mover en ese espacio curvado. Esto se conoce como geodésica, un principio de la naturaleza que Richard Hamington formuló en 1800 y es una de las bases de la mecánica clásica. 

Lo que propone este precepto es que la naturaleza evoluciona de la forma más simple posible,  en el ejemplo de Einstein eso repercute en que las partículas circulan alrededor de la Tierra de la forma más simple posible.

Siguiendo estos 3 supuestos se llega a la piedra angular de la teoría de la relatividad, que es la ecuación de campo de Einstein.

Para entender dicha ecuación hay que tener en cuenta que tiene una matriz, es decir, un arreglo de números que  sirve para almacenar información. Por ejemplo, una foto se puede escribir matemáticamente como una matriz de números y de hecho así es guardada por un ordenador. 

Con ese arreglo de datos que son las matrices, se puede escribir la geometría del ‘espacio-tiempo’ y en particular, en la relatividad general se usa matriz de 4 dimensiones para describir la geometría y otra de 4 para describir la energía. La energía del ‘espacio-tiempo’ va a determinar la geometría (curvatura) del mismo.

La ecuación de campo no pudo ser resuelta por Einstein inicialmente, por su gran complejidad matemática. Sin embargo, en 1916 el físico austriaco Karl Schwarzschild (1873-1916) propuso una primera solución antes de caer muerto en la I Guerra Mundial. 

Explicó su matriz de 4 dimensiones como que el ‘espacio-tiempo’ es algo que se extiende de forma sintética pero en el centro tiene un hueco que rompe el espacio, es decir que la solución matemática ya no existe después de cierto punto. Al pasar ese cuello de botella no se puede hacer una descripción de la geometría del ‘espacio-tiempo’ ni saber qué pasa con una partícula ubicada allí.  

Otros físicos y matemáticos siguieron buscando y haciendo aportes hasta que Roy Kerr (1934-) propuso la solución de una partícula que está rotando, en 1963.  Dicha solución es la que permite entender actualmente los núcleos de las galaxias, una de las ecuaciones más importantes que existen después de la ecuación de campo de Einstein. Sin embargo, continuó el misterio de que la solución deja de existir después de cierto punto.

Sin embargo, en 1965 Roger Penrose, recién egresado de su doctorado en matemáticas, decidió estudiar las geodésicas que siguen los rayos de luz. Arthur Eddington (1882-1944), físico contemporáneo de Einstein, ya había medido a principios del s XX que las geodésicas de los rayos de luz también se afectan por la curvatura del ‘espacio-tiempo’. “Si usted  observa una estrella y la luz que nos llega de ésta pasa alrededor del sol, esa luz va a ver  afectado su camino por la curvatura del ‘espacio-tiempo’  que este produce y no va a seguir una línea recta, su trayectoria se va a curvar  hasta que llegue a nosotros”, explica el profesor León Escobar.

Estas geodésicas son llamadas geodésicas luminoides, que se detienen y contraen en un punto del espacio-tiempo ubicado en el cuello de botella, conocido como ‘horizonte de sucesos’ y después se encuentran en otro punto, que Penrose bautizó como ‘singularidad’. Entre el ‘horizonte de sucesos’ y la ‘singularidad’ está la ‘superficie atrapada’, donde ni siquiera la luz puede escapar porque las geodésicas luminoides se contraen. 

La idea del Teorema de la singularidad de Penrose, publicado en 1965 en un artículo de solo 3 páginas en Physical Review Letters, se resume en que si el ‘espacio-tiempo’ contiene una superficie atrapada y si la condición de energía fuerte se satisface, es decir la presencia de materia, entonces existen geodésicas luminoides incompletas, lo que induce una ‘singularidad’.

John Archibald Wheeler (1911-2008) llamó por primera vez  a esas superficies atrapadas ‘agujeros negros’. Penrose trabajó con Stephen Hawking en lo que se conoce como la expansión del universo, en el llamado Teorema de la Singularidad Inicial, que propone un punto inicial, una ‘singularidad’, desde donde el espacio-tiempo emergió. Sin ese teorema matemático la teoría del bing bang no tendría relevancia. 

Esta charla “Las matemáticas de los agujeros negros ganan el Premio Nobel”, del profesor del Departamento de Matemáticas León Escobar, fue organizada por el Semillero de la Universidad del Valle, un proyecto que busca estimular el interés por las ciencias, la lectura y el arte a través de diversos enfoques pedagógicos.